控制体分析中的动量守恒被写作作用于固定或运动流体区域上的力平衡。 利用牛顿第二定律和雷诺输运定理，控制体内动量积累的速率加上通过控制面的净对流动量通量等于总外力。总力被分解为体积力（作用于整个流体体积）和表面力（通过压力和粘性应力作用于控制面）。

控制体动量方程为 [ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho \mathbf{v}\,dV +\oint_{CS}\rho \mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA =\int_{CV}\rho\mathbf{b}\,dV +\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}\,dA. ] 右侧包含体积力贡献和表面力贡献。

动量守恒如何表述

从牛顿第二定律出发

对于物质系统，牛顿第二定律指出，净外力等于动量变化率：

[ \mathbf{F}_{\text{net}}

\frac{d}{dt}\int_{\text{system}}\rho\mathbf{v}\,dV. ]

这里，(\rho) 是流体密度，(\mathbf{v}) 是速度矢量。

对于物质流体微元，同样的关系可以用微分形式表示为：

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f}, ]

其中 (D\mathbf{v}/Dt) 是物质加速度，(\mathbf{f}) 是单位体积净力。

应用雷诺输运定理

控制体是空间中选定的区域，流体可以穿过该区域。雷诺输运定理通过考虑控制体内存储的动量和穿过其边界输运的动量，将系统平衡转化为控制体平衡。

对于静止控制体：

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v}\,dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA

\mathbf{F}_{\text{net}}. ]

第一项表示控制体内的动量积累。第二项表示通过控制面的净对流动量流量。

解释对流动量通量

矢量 (\mathbf{n}) 是控制面的外法线单位向量。量 (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}) 表示穿过表面的速度法向分量。

进入控制体的流体满足 (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}<0)，而离开控制体的流体满足 (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}>0)。这种符号约定自动考虑了入口和出口的动量贡献。

对于稳定、一维、速度分布均匀的流动，平衡通常简化为：

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}. ]

体积力与表面力的区别

体积力作用于整个流体体积

体积力直接作用于控制体内流体的质量上。它不需要与边界发生物理接触。

一般的体积力贡献为：

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{b}\,dV, ]

其中 (\mathbf{b}) 是单位质量体积力。

大多数流体流动单元操作中的主要例子是重力：

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{g}\,dV. ]

对于恒定密度和均匀重力场，这变为：

[ \mathbf{F}_V

\rho\mathbf{g}V_{CV}. ]

重力在静水压力计算、垂直管道、储罐、塔器以及涉及高程变化的系统中非常重要。

表面力作用于边界上

表面力通过控制面作用于流体。这些力来自相邻流体、固体壁面、泵、阀门和其他接触表面。

一般表达式为：

[ \mathbf{F}_S

\oint_{CS}\mathbf{s}(\mathbf{n})\,dA

\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}\,dA, ]

其中 (\mathbf{s}(\mathbf{n})) 是表面牵引力矢量，(\boldsymbol{\sigma}) 是应力张量。

表面力有两个主要组成部分：

[ \boldsymbol{\sigma}

-p\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau}. ]

项 (-p\mathbf{I}) 表示各向同性压力应力。张量 (\boldsymbol{\tau}) 表示由速度梯度引起的粘性应力或偏应力。

压力法向作用

压力垂直于表面作用。其贡献为：

[ \mathbf{F}_p

-\oint_{CS}p\mathbf{n}\,dA. ]

负号来自外法线约定：施加在流体上的压力相对于周围表面指向内部。

压力在渐缩管、喷嘴、弯头、泵和管件上的动量平衡中至关重要。其合力可以产生推力、反作用力或压降关系。

粘性力切向作用

粘性剪应力主要沿壁面或流体界面的切向作用。在固体壁面处，它与边界附近的速度梯度相关。

粘性贡献表示为：

[ \mathbf{F}_{\tau}

\oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n}\,dA. ]

在内部流动中，壁面剪切产生摩擦压力损失。这些损失影响泵的选型、运行功率以及管道网络的水力性能。

完整的控制体力平衡

将动量输运项与体积力和表面力结合得到：

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v}\,dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA

\int_{CV}\rho\mathbf{b}\,dV

\oint_{CS}p\mathbf{n}\,dA + \oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n}\,dA. ]

该方程在每个坐标方向上独立适用。例如，水平管道弯头通常使用 (x) 和 (y) 分量进行分析，以确定所需的支撑或锚固力。

稳态简化

在稳态条件下，动量积累项消失：

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v}\,dV=0. ]

于是方程表明，离开控制体的净动量通量等于体积力与表面力之和。

这种形式对于分析稳态管道流动、泵站、阀门、弯头和反应器进料系统特别有用。

一维入口和出口形式

对于离散的入口和出口，动量平衡可以写为：

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{out}}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{in}}. ]

质量流量为：

[ \dot{m}=\rho A v, ]

对于横截面积为 (A)、速度为 (v) 的均匀流。

当入口和出口速度已知或可通过连续性估算时，这种工程形式很方便。

为什么这种区分在单元操作中很重要

预测压降和摩擦损失

在计算管道和设备中的压力变化时，必须区分压力力和壁面剪切力。压力差提供驱动力，而粘性剪切则解释不可逆的摩擦损失。

这些结果支持泵的选型以及中试系统中运行极限的评估。

评估设备和管道受力

即使动量大小保持不变，其方向也可能改变。因此，管道弯头会因流体动量矢量的变化而承受反作用力。

控制体平衡提供了作用于流体的力；等大反向的力决定了传递到管件、支撑或设备上的载荷。

考虑高程和静水效应

当控制体具有较大的垂直范围或流体处于静止或缓慢运动状态时，体积力变得重要。此时重力对压力分布和静水压头有贡献。

在垂直塔器和储罐中，忽略体积力项会导致错误的压力或力预测。

理解权衡

积分平衡需要适当的平均

控制体方程是精确的，但实际计算通常使用平均速度、均匀分布和简化压力分布。在流动强烈发展、湍流、分离或多相流的情况下，这些近似可能不充分。

当速度分布远非均匀时，可能需要速度分布修正系数。

压力与剪切不可互换

压力是法向应力，而粘性剪切是切向应力。将所有表面力视为压力力会导致合力不正确，并低估摩擦损失。

反之，在可忽略壁面剪切的地方包含壁面剪切，会增加不必要的复杂性而不会改善结果。

所选控制体影响计算

控制面应放置在压力、速度和流量已知或可可靠估算的位置。选择不当的控制体可能会引入未知的壁面力或不必要的界面。

对于包含内部部件的设备，选择围绕整个装置的边界可以通过用净外力替代内力来简化平衡。

动量分析不能替代能量分析

动量守恒确定力和动量变化，但其本身不能确定温度变化、传热或机械能损失。热力设备、泵功率和换热器分析需要能量平衡。

在完整的单元操作设计中，质量、动量和能量平衡一起使用。

为您的目标做出正确选择

使用控制体动量方程时，请先确定控制体，指定入口和出口动量通量，并评估每个体积力和表面力贡献。

• 如果您的主要关注点是压降预测：仔细考虑压力和壁面剪切贡献，并使用适当的速度分布或摩擦因子关联式。
• 如果您的主要关注点是泵和管道设计：应用稳态动量平衡来确定压力力、设备反作用力和支撑载荷。
• 如果您的主要关注点是垂直或静水系统：包括体积力项 (\int_{CV}\rho\mathbf{g}\,dV) 并明确考虑高程效应。
• 如果您的主要关注点是小试装置放大：将动量平衡与连续性和能量平衡相结合，以便一致地评估流量分布、压力损失和热效应。

精心选择的控制体将流体动量守恒转化为流动行为与作用于工艺设备上的力之间的直接、定量的联系。

摘要表：

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