对于黏性流体流动，能量平衡通过将总能量分为热能和机械能两部分来制定。总能量方程跟踪内能、动能和势能，同时考虑热传导以及压力应力和黏性应力所做的功。将机械能平衡从总能量平衡中减去，可以揭示压缩或膨胀产生的热效应，以及通过黏性耗散将机械能不可逆地转化为热能的过程。

该控制方程由总能量平衡和机械能平衡共同组成。对于黏性流体，内能方程必须包含热传导、压力功效应以及黏性耗散项（\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}），该项在高黏度或高剪切操作中可能十分重要。

从总能量平衡开始

流体微粒的能量

单位质量上的实质总能量为

[ e_t = u + \frac{v^2}{2} + gz ]

其中，(u) 为内能，(v^2/2) 为动能，(gz) 为势能。

对于流体微粒，第一定律平衡可写为

[ \rho \frac{D e_t}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{v}) + \rho \mathbf{b}\cdot\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

其中，(\rho) 为密度，(\mathbf{q}) 为导热热通量，(\boldsymbol{\sigma}) 为总应力张量，(\mathbf{b}) 为单位质量体力，(\dot{q}_v) 表示任意体积热源。

热传导

傅里叶定律定义导热热通量：

[ \mathbf{q}=-k\nabla T ]

因此，能量平衡中的导热项为

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}

\nabla\cdot(k\nabla T) ]

对于恒定导热系数，该项变为 (k\nabla^2T)。

在静止的固体壁面处，根据无滑移条件，壁面处流体速度为零。因此，跨越边界的传热由垂直于壁面的导热热通量表示：

[ q_w=-k\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)_w ]

壁面温度梯度决定了局部传热速率，该速率用于换热器、蒸发器、冷却盘管和反应器夹套的设计与分析。

应力功

应力张量通常分解为

[ \boldsymbol{\sigma}=-P\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

其中，(P) 为压力，(\boldsymbol{\tau}) 为偏应力或黏性应力张量。

应力功项同时包括压力功和黏性应力功。这一区分至关重要，因为压力功主要表示可逆的机械能传递，而黏性应力可能不可逆地生成热能。

推导热能平衡

内能形式

从总能量方程中分离出动能和势能，并结合动量平衡后，内能方程为

[ \rho\frac{D u}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q}

P\nabla\cdot\mathbf{v} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

这里，(\mathbf{v}) 为速度场，冒号表示两个张量的双重收缩。

各项具有直接的物理意义：

• (-\nabla\cdot\mathbf{q})：进入流体微元的净导热量。
• (-P\nabla\cdot\mathbf{v})：可逆的压力-体积功。
• (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v})：机械能不可逆地转化为内能。
• (\dot{q}_v)：外部指定的体积发热量。

温度-压力形式

对于具有热力学特征的流体，内能微分可以用温度和压力表示。热能平衡的一种实用形式为

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \left[ 1- \frac{T}{\rho} \left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_P \right] \frac{D P}{D t} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

确切的压力系数取决于所采用的热力学变量和状态方程。重要的物理贡献包括压力诱导热效应和黏性耗散。

对于恒定的 (k)，导热项可写为

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}=k\nabla^2T ]

可压缩性和压力效应

涉及 (DP/Dt) 的项描述了与压缩和膨胀相关的可逆加热或冷却。当密度发生明显变化时，该项最为重要，例如在气体、可压缩液体、快速压力瞬变或高压设备中。

对于物性近似恒定的不可压缩液体，该压力-温度贡献在热方程中通常可以忽略。不过，压力在单独的机械能平衡中仍可能十分重要。

考虑黏性耗散

一般黏性生热项

项

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

表示单位体积内黏性机械能转化为热能的速率。

对于物理上可接受的牛顿流体，该项为非负值，表示由速度梯度引起的不可逆内部生热。

牛顿流体

对于牛顿流体，

[ \boldsymbol{\tau}

\mu\left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I} ]

其中，(\mu) 为动力黏度，(\lambda) 为第二黏度系数。

因此，耗散函数为

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

黏度在单元操作中的重要性

在低黏度、低剪切流动中，与通过设备壁面交换的热量相比，黏性生热可能很小。在聚合物、重油、高浓度生物流体和高强度混合操作中，黏性生热可能成为主要的内部热源。

其结果是，即使设备受到外部冷却，流体温度仍可能升高。在此类系统中忽略 (\Phi_v)，可能导致出口温度、传热系数、停留时间预测以及冷却负荷需求计算错误。

制定机械能平衡

单位质量机械能

流动流体的机械能通常由压力、动能和势能项表示：

[ \frac{P}{\rho}+\frac{v^2}{2}+gz ]

对于通过单元操作设备的稳态流动，单位质量的实用机械能平衡为

[ \frac{P_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + gz_1 + w_s

\frac{P_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + gz_2 + F ]

其中，(w_s) 为输入流体的轴功，(F) 为由摩擦和其他不可逆效应造成的单位质量机械能损失。

重新整理得

[ w_s

\frac{P_2-P_1}{\rho} + \frac{v_2^2-v_1^2}{2} + g(z_2-z_1) + F ]

(w_s) 的符号取决于所采用的约定。上述方程将正的 (w_s) 定义为输入流体的功。

微分机械能平衡

微分形式可以通过将应力功投影到速度场上，并由动量方程推导得到。该形式考虑压力梯度功、体力功、动能变化、轴功和黏性损失。

在实际的中试装置计算中，积分形式通常更有用，因为它可以直接将泵或压缩机功与压力升高、速度变化、高程变化和摩擦损失联系起来。

不可压缩流动的机械能平衡

对于恒定密度的液体流动，常用表达式为

[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F

w_s ]

乘以质量流量可得到轴功率需求：

[ \dot W_s

\dot m \left[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F \right] ]

该关系可用于泵的选型，以及预测流体通过管道、管件、换热器、过滤器、混合器和其他模块时的压力损失。

将机械损失与热生成联系起来

摩擦并不自动等同于壁面热通量

摩擦项 (F) 表示机械能的损耗。不应将其自动作为通过壁面传递的热量插入热能平衡中。

损失的机械能中，一部分通过黏性耗散在局部转化为内能；其余部分可能由流体输运，并最终传递给设备表面或周围环境。

局部平衡与总体平衡

微分热方程使用局部生成项

[ \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

总体机械能平衡使用积分损失 (F)。二者通过空间积分相关，但在未考虑流场和控制体的情况下，不能相互替代。

这种区分可以避免在同一单元操作中同时应用热能平衡和机械能平衡时，对摩擦生热进行重复计算。

热和功是不同的传递方式

热量由于温差而跨越系统边界。功则通过机械力、电力、压力或轴力跨越边界。

泵或搅拌器向工艺过程输入功，而冷却夹套移除热量。机械功最终可能表现为热能，并不意味着原始的轴功传递就是热传递。

理解其中的权衡

不可压缩近似

对于许多液体单元操作，密度、黏度和导热系数被视为常数。这可以将热能平衡简化为

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

k\nabla^2T + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

只有当整个操作范围内压力诱导的密度变化和物性变化都不显著时，这种近似才适用。

忽略黏性耗散

去掉黏性项后，方程将简化为传统的对流-传导平衡。对于低黏度流体，这通常是合理的；但对于狭窄通道、高转速、强烈混合或强剪切变稀材料，这种做法可能不安全。

应比较的是黏性生热与壁面散热，而不是单独考察黏度。

稳态假设

在稳态下，局部蓄积项可能消失，但对流输运、传导、压力效应、黏性耗散和热交换仍可能十分重要。

稳态并不意味着热能平衡可以忽略，而是意味着在固定位置处，温度场不再随时间变化。

伯努利型简化

如果黏性损失、轴功、热效应和可压缩性都可以忽略，则机械能平衡可简化为伯努利型关系。该关系适用于理想化流动，但通常不足以用于实际泵的选型或高黏度设备的分析。

如何将其应用于您的项目

正确的平衡形式取决于目标是预测温度、计算设备功率，还是同时评估这两种效应。

• 如果您的主要目标是预测温度：使用包含传导、对流、相关的压力诱导热效应、黏性耗散和体积发热的内能方程或温度方程。
• 如果您的主要目标是泵或压缩机选型：使用包含压力变化、动能变化、高程变化、摩擦损失和轴功的机械能平衡。
• 如果您的主要目标是高黏度或高剪切操作：保留 (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v})，并评估黏性生热是否会实质性地改变温度场。
• 如果您的主要目标是可压缩流动或快速增压流动：保留 (DP/Dt) 热力学项，并使用一致的状态方程和物性模型。
• 如果您的主要目标是总体单元操作负荷：将局部热能平衡与积分机械能平衡结合起来，同时避免重复计算摩擦能。

可靠的制定方法应使热传递、机械能及其不可逆转化保持明确关联，同时在物理上彼此区分。

总结表：

需要设计或评估黏性流体流动的单元操作吗？请联系 LABPARK，获取根据您的应用定制的教育和职业培训单元操作中试装置。LABPARK 为大学、科研机构和企业提供用于化学工程、生物过程与生物技术、环境与水处理应用的中试装置。我们的系统可帮助您利用注重实际应用的设备，评估热性能、黏性生热、压力损失、泵和混合器需求以及放大决策。