对于爬流绕过球形颗粒的情况，总水动力阻力由斯托克斯定律给出： (F_D = 6\pi \mu R U)，其中 (\mu) 为流体黏度，(R) 为颗粒半径，(U) 为颗粒与流体之间的相对速度。总力通过对整个球形表面上的流体牵引力进行积分获得。压力力贡献三分之一，(F_{D,p}=2\pi\mu R U)，而黏性剪切力贡献三分之二，(F_{D,\tau}=4\pi\mu R U)。
在爬流中，球体阻力与黏度、颗粒尺寸和相对速度成线性关系。尽管惯性可以忽略不计，但周围的压力场仍然贡献了三分之一的阻力；表面剪切力贡献其余的三分之二。
确定爬流状态
相关雷诺数
当颗粒雷诺数远小于 1 时，适用爬流：
[ Re_p=\frac{\rho U d}{\mu}\ll 1 ]
其中 (\rho) 为流体密度，(d=2R) 为颗粒直径。
在如此低的雷诺数下，与黏性效应相比，惯性效应可以忽略不计。流动主要由压力梯度与黏性应力之间的平衡所控制。
相对速度的含义
斯托克斯定律中的速度 (U) 是颗粒与周围流体之间的相对速度。对于静止于运动流体中的颗粒，(U) 是流体相对于颗粒的局部速度。
对于沉降颗粒，(U) 是颗粒相对于流体的速度，通常在合力为零的终端速度下进行评估。
计算总水动力阻力
斯托克斯定律
球体所受总阻力的大小为
[ F_D=6\pi\mu R U ]
使用直径而非半径，可得到等价形式
[ F_D=3\pi\mu d U ]
阻力方向与颗粒相对于流体的运动方向相反。
表面力积分
颗粒所受的力来自作用于其表面的流体牵引力。该牵引力包含两个分量：
[ \text{表面牵引力}= \text{法向压力牵引力} + \text{切向黏性牵引力} ]
对球形表面的两个分量进行积分，可得
[ F_D=F_{D,p}+F_{D,\tau} ]
对于爬流中的球体，
[ F_{D,p}=2\pi\mu R U ]
以及
[ F_{D,\tau}=4\pi\mu R U ]
因此，
[ F_D
2\pi\mu R U+4\pi\mu R U
6\pi\mu R U ]
压力与剪切力的相对贡献
压力贡献
球体周围的压力分布产生
[ F_{D,p}=2\pi\mu R U ]
相对于总阻力，
[ \frac{F_{D,p}}{F_D}
\frac{2\pi\mu R U}{6\pi\mu R U}
\frac{1}{3} ]
因此，压力约占总阻力的 33.3%。
这种压力场并不是通常高雷诺数意义上的惯性形状阻力效应。即使惯性可以忽略不计，球体周围的黏性流动仍然需要压力梯度，而该压力分布会在阻碍运动的方向上产生净力分量。
剪切应力贡献
颗粒表面的切向黏性应力产生
[ F_{D,\tau}=4\pi\mu R U ]
其占总阻力的比例为
[ \frac{F_{D,\tau}}{F_D}
\frac{4\pi\mu R U}{6\pi\mu R U}
\frac{2}{3} ]
因此，黏性剪切约占总阻力的 66.7%。
这一较大的贡献反映了颗粒表面的无滑移条件。流体速度从颗粒表面速度迅速变化到周围流动速度，从而形成速度梯度和切向壁面剪切应力。
三分之一与三分之二的分配
力的分解可概括为
[ F_D
\underbrace{2\pi\mu R U}{\text{压力： }1/3} + \underbrace{4\pi\mu R U}{\text{剪切： }2/3} ]
因此，压力阻力与剪切阻力之比为
[ F_{D,p}:F_{D,\tau}=1:2 ]
这一划分对于教学设备很有用，因为压力传感器和力测量可能反映同一水动力相互作用的不同部分。
将结果与单元操作设备联系起来
沉降与澄清
在沉降实验中，斯托克斯定律用于关联颗粒尺寸、流体黏度和沉降速度。在终端沉降速度下，阻力与颗粒的有效重量平衡：
[ F_D=F_g-F_b ]
其中 (F_g) 为颗粒重量，(F_b) 为浮力。
阻力计算有助于学生分析沉降效率、停留时间以及澄清器或分离柱的性能。
差压测量
中试设备可能会测量流道、填充段或分离装置两端的压差。这些测量反映的是与设备内流体动量和黏性阻力相关的压力力，而不一定是单个孤立球体阻力中的压力分量。
因此，测得的压降不应自动解释为斯托克斯定律中的三分之一压力贡献。测量几何和控制体决定了所记录的力的具体类型。
剪切应力测量
壁面剪切应力与局部速度梯度之间的关系为
[ \tau_w
-\mu \left(\frac{\partial u_x}{\partial y}\right)_{y=0} ]
这一关系体现了导致球体剪切贡献的相同物理原理：黏性力源于表面的速度梯度。
平板关联式，例如层流边界层摩擦关系式，对于流道和壁面流动实验很有用。但不能将其直接替代球形颗粒结果，因为二者的几何形状和速度场不同。
理解其中的权衡
斯托克斯定律的适用雷诺数范围有限
(6\pi\mu R U) 关系式在 (Re_p\ll 1) 时有效。随着雷诺数增加，惯性变得重要，阻力不再严格与速度成正比。
在较高雷诺数下，尾流形成、流动分离和惯性压力阻力会显著改变总阻力以及压力与剪切力的分配。
颗粒形状的影响
三分之一压力和三分之二剪切力的分配适用于理想、光滑、刚性的球体，且周围为无限大牛顿流体。不规则颗粒、纤维、液滴和生物颗粒可能具有不同的阻力系数和应力分布。
靠近壁面、处于狭窄流道内或位于相邻颗粒之间时，周围边界会改变流动，并增大或以其他方式改变阻力。
必须一致地应用流体性质
黏度 (\mu) 必须根据相关的温度和组成条件进行评估。对于非牛顿流体，采用单一恒定黏度的斯托克斯定律计算可能无法准确表示颗粒尺度的应力场。
在颗粒尺度上，流体还必须具有足够的连续性，才能适用连续介质力学。处于稀薄介质或微尺度状态下的极小颗粒可能需要采用经典结果之外的修正。
压力与剪切力并非相互独立的流动系统
在数学上将压力与剪切力分开，是为了确定它们对积分力的贡献。在物理上，它们是球体周围同一流动解中的相互耦合部分。
因此，压力分布和表面速度梯度必须从完整的爬流场中推导，而不能分别根据互不相关的设备关联式进行估算。
将其应用于您的项目
分析球形颗粒实验时，可采用以下方法：
- 如果您的主要关注点是颗粒总阻力： 使用流体黏度、颗粒半径以及颗粒与流体之间的相对速度计算 (F_D=6\pi\mu R U)。
- 如果您的主要关注点是压力力贡献： 使用 (F_{D,p}=2\pi\mu R U=F_D/3)，并注意这属于黏性流动中的压力贡献，而不是高雷诺数下的惯性形状阻力。
- 如果您的主要关注点是表面摩擦贡献： 使用 (F_{D,\tau}=4\pi\mu R U=2F_D/3)，这表示对颗粒表面切向剪切应力进行积分后的结果。
- 如果您的主要关注点是验证中试工厂实验： 确认 (Re_p\ll1)，区分颗粒尺度阻力与设备尺度压降，并考虑壁面、相邻颗粒和非牛顿行为的影响。
对于爬流中的理想球体，控制性结论十分明确：水动力阻力的三分之一来自压力力，三分之二来自黏性剪切应力。
总结表：
| 关键方面 | 结果 |
|---|---|
| 流动状态 | 爬流，其中颗粒雷诺数 (Re_p \ll 1) |
| 总阻力 | (F_D = 6\pi\mu R U) |
| 压力贡献 | (F_{D,p} = 2\pi\mu R U)，或 1/3（33.3%） |
| 剪切贡献 | (F_{D,\tau} = 4\pi\mu R U)，或 2/3（66.7%） |
| 贡献比例 | 压力：剪切 = 1：2 |
| 主要应用 | 沉降、澄清、颗粒沉降以及水动力学教学实验 |
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