应力矢量是作用在表面上的牵引力，而应力张量包含产生该牵引力的完整局部应力状态。对于外法向单位向量为 n 的表面，应力矢量 s(n) 可通过将应力张量 σ 作用于该法向量得到：

[ \mathbf{s}(\mathbf{n})=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n} ]

等价地，在一些流体力学教材采用的行向量约定下，同一关系可写为 (\mathbf{s}(\mathbf{n})=\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})。其物理含义完全相同：张量将表面方向映射为作用在该表面上的单位面积力。

应力张量是应力的完整局部描述；应力矢量则是该张量作用于法向量为 (\mathbf{n}) 的表面时产生的特定牵引力。

应力矢量代表什么

单位面积上的力

应力矢量 (\mathbf{s}(\mathbf{n})) 表示流体内部某个假想表面两侧所施加的单位面积力。

其方向和大小取决于由单位法向量 (\mathbf{n}) 指定的表面方向。

表面方向至关重要

流体中的同一点在方向不同的表面上可能承受不同的应力矢量。

法向量沿某一坐标方向的表面，可能承受与另一方向表面不同的法向力和切向力组合。

应力张量包含什么

完整的局部应力状态

应力张量 (\boldsymbol{\sigma}) 存储一点处与各坐标方向相关的法向应力和剪切应力分量。

因此，它包含足够的信息，可以确定通过该点的任意表面上的牵引力。

将方向映射为牵引力

该张量将表面法向量 (\mathbf{n}) 线性映射为相应的应力矢量。

采用常见的列向量约定时，用指标记号表示为：

[ s_i(\mathbf{n})=\sigma_{ij}n_j ]

其中，(s_i) 是牵引力矢量的第 (i) 个分量，(\sigma_{ij}) 是相应的应力张量分量。

为什么柯西四面体很重要

局部平衡建立了这种关系

这种关系源于对处于机械平衡状态的无穷小四面体流体微元进行分析。

作用在其不同方向表面上的力必须保持平衡。当四面体不断缩小并趋近于一点时，作用在与坐标轴对齐表面上的表面力，就决定了作用在任意方向表面上的力。

一个张量替代多次测量

这意味着无需针对每一种可能的表面方向分别测量应力。

一旦知道某一点处的 (\boldsymbol{\sigma})，就可以针对任意选定的 (\mathbf{n}) 计算 (\mathbf{s}(\mathbf{n}))。

分离法向应力和剪切应力

法向应力

应力矢量沿表面法向的分量就是法向应力：

[ s_{\mathrm{normal}}=\mathbf{s}(\mathbf{n})\cdot\mathbf{n} ]

该分量垂直于表面作用。

切向应力

剩余分量作用于表面内，代表剪切牵引力：

[ \mathbf{s}_{\mathrm{shear}}

\mathbf{s}(\mathbf{n})

\left[\mathbf{s}(\mathbf{n})\cdot\mathbf{n}\right]\mathbf{n} ]

在评估壁面摩擦、边界层以及流体对浸没设备的作用力时，这一区分非常重要。

在流体输送系统中的应用

容器壁和内部填料

在容器壁或填料表面处，局部表面法向决定了由流体应力张量产生的牵引力。

由此得到的应力矢量可用于评估类似压力的法向载荷和切向剪切载荷。

边界层和壁面剪切

在固体边界附近，(\mathbf{s}(\mathbf{n})) 的切向部分给出了壁面剪切牵引力。

这与阻力、能量损失、侵蚀和表面力计算直接相关。

机械载荷

在一个表面上对应力矢量进行积分，可得到流体施加的总力：

[ \mathbf{F}=\int_A \mathbf{s}(\mathbf{n}),dA ]

因此，张量到矢量的关系为计算容器壁、管道、叶轮和内部设备上的载荷提供了局部输入。

理解权衡因素

应力张量数据必须准确

应力矢量的可靠性取决于用于计算它的应力张量。

在计算流体力学中，数值分辨率、湍流模型和近壁面处理会显著影响预测的剪切应力和表面载荷。

张量约定必须保持一致

一些参考资料将映射关系写为 (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n})，而另一些则写为 (\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})。

这些形式反映了不同的向量和张量指标约定，因此在组合方程或软件输出结果之前，必须核对分量定义。

局部应力不等于设备总载荷

应力矢量描述的是表面某一点处的单位面积力。

完整的容器或填料载荷需要在相关表面上对应力矢量进行积分，而力矩还需要考虑每个表面点的位置。

根据目标做出正确选择

以应力张量为起点，然后选择表面法向，并提取与工程问题相关的力分量。

• 如果主要关注表面载荷：根据局部应力张量计算 (\mathbf{s}(\mathbf{n}))，并在壁面或设备表面上对其进行积分。
• 如果主要关注壁面摩擦：将 (\mathbf{s}(\mathbf{n})) 投影到表面上，以分离出切向剪切牵引力。
• 如果主要关注压力或压缩：将 (\mathbf{s}(\mathbf{n})) 投影到 (\mathbf{n}) 上，以获得法向应力。
• 如果主要关注方程或软件之间的比较：确认实现采用的是 (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n})，还是等价的行向量形式 (\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})。

知道某一点处的应力张量，就可以得到通过该点的任意表面方向上的应力矢量。

总结表：

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