对于平板上的层流，位移厚度、动量厚度和能量厚度是衡量黏性边界层从外部流动中削减了多少的积分量。 相对于自由流速度 (U_\infty)，它们分别量化体积流量通量、动量通量和动能通量的亏损。对于距前缘距离为 (x) 的 Blasius 边界层，这三种厚度都与 (\sqrt{\nu x/U_\infty}) 成正比，其中 (\nu) 为运动黏度。

这些比值之所以重要，是因为它们将连续变化的速度剖面转换为有用的工程长度尺度。 在教学型实验装置中，它们帮助学生将测得的速度分布与流量减少、动量损失、壁面效应以及理论 Blasius 解联系起来。

为什么平板流动是标准参考对象

边界层没有唯一确定的精确边界

在壁面处，无滑移条件给出 (u=0)。随后速度连续上升并趋近于 (U_\infty)，因此边界层没有清晰定义的实际外边界。

在实际测量中，通常将常规厚度 (\delta_{99}) 定义为速度达到

[ u=0.99U_\infty. ]

对于层流 Blasius 流动，

[ \delta_{99}\approx 5.0\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}}. ]

积分厚度避免依赖任意的速度阈值，而是利用完整的实测速度剖面。

平板提供了清晰的基准

平板上的平行流沿表面的压力梯度近似为零。这消除了压力梯度的影响，使该流动适合用于检验边界层理论。

由此得到的层流解就是经典的 Blasius 边界层，实验速度剖面可以与之进行比较。

三种厚度的定义方式

令

[ f=\frac{u(x,y)}{U_\infty}, ]

其中 (u(x,y)) 是局部流向速度，(y) 是垂直于平板的距离。

位移厚度：缺失的体积流量通量

位移厚度通常记为 (\delta^*) 或 (\delta_1)，其定义为

[ \delta_1

\int_0^\infty \left(1-\frac{u}{U_\infty}\right),dy. ]

它表示外部无黏流线需要离开壁面移动的距离，以补偿黏性层内部减少的体积流量。

对于层流 Blasius 流动，

[ \delta_1

1.7208\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}}. ]

因此，位移厚度衡量的是由黏性造成的质量流量或体积流量亏损。

动量厚度：缺失的动量通量

动量厚度记为 (\delta_2) 或 (\theta)，其定义为

[ \delta_2

\int_0^\infty \frac{u}{U_\infty} \left(1-\frac{u}{U_\infty}\right),dy. ]

因子 (u/U_\infty) 考虑了动量通量不仅取决于质量流量，也取决于速度这一事实。所得结果表示相对于均匀无黏流动的动量亏损。

对于 Blasius 流动，

[ \delta_2

0.664\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}}. ]

动量厚度对于将速度剖面与壁面剪切、阻力和边界层动量平衡联系起来尤其有用。

能量厚度：缺失的动能通量

能量厚度记为 (\delta_3)，其定义为

[ \delta_3

\int_0^\infty \frac{u}{U_\infty} \left[ 1-\left(\frac{u}{U_\infty}\right)^2 \right]dy. ]

它衡量由速度剖面造成的动能通量亏损。在分析机械能损失以及有序流动能量向耗散能量的转化时，该厚度具有重要意义。

对于层流 Blasius 流动，

[ \delta_3

1.0444\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}}. ]

能量厚度的确切约定可能会因所采用的能量方程形式略有不同，但上述表达式是与给定 Blasius 系数相对应的标准平板结果。

这些比值揭示了什么

相对于常规厚度的比值

利用

[ \delta_{99}\approx 5.0\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}}, ]

三种积分厚度近似为

[ \delta_1\approx0.34\delta_{99}, ]

[ \delta_2\approx0.13\delta_{99}, ]

以及

[ \delta_3\approx0.20\delta_{99}. ]

这些比值表明，不同厚度不能相互替代。

为什么这些数值不同

位移厚度直接对速度亏损进行加权。动量厚度则使用 (u/U_\infty) 对亏损进行加权，而能量厚度还采用了与动能输运相关的、依赖速度的附加权重。

因此，每种厚度都强调同一速度剖面的不同物理后果。边界层在几何上可能相当厚，但其动量厚度或能量厚度可能较小。

对位置和雷诺数的依赖性

三种 Blasius 厚度都随

[ \sqrt{x}. ]

增加。

随着自由流速度增加或运动黏度减小，它们也会减小。用雷诺数表示时，在给定的 (x) 和平板长度尺度下，较高的 (Re_x=U_\infty x/\nu) 通常对应较薄的层流边界层。

为什么这些比值在教学型实验装置中很重要

它们使不可见的流场变得可量化

靠近壁面的速度难以直接观察，而边界层边缘是渐近的，并非清晰可见。因此，即使难以精确确定 (\delta_{99})，也可以对测得的速度剖面进行积分，得到 (\delta_1)、(\delta_2) 和 (\delta_3)。

这为学生提供了一种严谨的方法来量化流动减速，而不是仅依赖视觉观察。

它们将测量结果与流量联系起来

位移厚度将速度亏损转换为有效流通面积的减少。在通道或测试段中，这有助于解释为什么黏性壁面层会改变高速外部流动可利用的有效横截面积。

学生可以将根据实测数据获得的积分位移厚度与理论值 (1.7208\sqrt{\nu x/U_\infty}) 进行比较。

它们将速度剖面与动量损失和阻力联系起来

动量厚度在速度剖面测量与动量输运之间建立了直接联系。它帮助学生理解壁面剪切的影响，并认识到即使外部压力梯度为零，黏性流动仍会产生阻力。

这也为比较平板上不同流向位置处边界层的发展提供了实用基础。

它们支持能量和设备分析

能量厚度引入了边界层对动能输运的影响。在单元操作设备中，这种联系十分重要，因为黏性效应会影响压力损失、泵送需求以及整体输运效率。

因此，这三种厚度可以利用同一个实验测得的速度场，支持质量、动量和能量平衡分析。

它们可以检验 Blasius 模型

实验装置可以在距前缘多个不同距离处测量速度。学生可以计算积分厚度，并检验它们是否遵循预测的 (\sqrt{x}) 增长规律和系数比值。

若结果一致，则支持稳态、二维、不可压缩、层流、零压力梯度流动等假设。偏差可能表明存在湍流、测量限制、有限平板效应，或自由流估计不恰当等问题。

理解其中的权衡

(\delta_{99}) 易于解释，但对测量较为敏感

99% 厚度具有直观的定义，但它依赖于阈值的选择，并且需要准确测量非常接近 (U_\infty) 的速度。自由流测量中的微小误差可能会改变 (\delta_{99}) 的表观位置。

积分厚度通常更能代表完整的速度剖面，不过它们需要数值积分，并要求在整个边界层范围内获得可靠数据。

Blasius 系数的适用范围有限

上述系数适用于层流、零压力梯度的平板流动。对于湍流、强压力梯度、表面粗糙度、流动分离、可压缩性或显著三维效应，不应直接沿用这些系数。

实验比值与理论比值不一致，并不一定意味着实验失败。这可能表明所假设的流动状态并不能描述实际装置。

剖面分辨率会影响结果

近壁测量尤其重要，因为速度在那里变化迅速。数据稀疏、探头干扰、壁面位置误差或空间分辨率不足，都可能导致积分量出现显著误差。

完善的实验流程应记录自由流速度、流体温度和黏度、流向位置、探头位置，以及每次速度读数的不确定度。

如何将其应用于实验

最有用的流程是在多个 (x) 值处测量 (u(y))，用 (U_\infty) 对其进行归一化，并对三个积分进行数值计算。

如果主要关注流动位移： 计算 (\delta_1)，并将其与 (0.34\delta_{99}) 进行比较，以量化边界层造成的有效流通面积减少。
如果主要关注阻力和动量输运： 计算 (\delta_2)，并考察其沿下游方向的增长，将其作为动量亏损和壁面摩擦效应的指标。
如果主要关注能量损失： 计算 (\delta_3)，以评估相对于外部流动，速度剖面如何降低动能通量。
如果主要关注理论验证： 将三种厚度与 Blasius 预测值进行比较，并检查其预期的 (\sqrt{\nu x/U_\infty}) 缩放关系。
如果主要关注实验质量： 将积分结果与 (\delta_{99}) 进行比较，同时报告测量不确定度，并检查流动是否确实为层流。

总的来说，这些厚度将连续变化的边界层速度剖面转换为质量流量位移、动量损失和能量亏损等实用指标。

总结表：

厚度	定义	Blasius 结果	主要工程含义
位移厚度，δ₁	∫(1 − u/U∞)dy	1.7208√(νx/U∞)	体积流量或有效面积亏损
动量厚度，δ₂	∫(u/U∞)(1 − u/U∞)dy	0.664√(νx/U∞)	动量损失、壁面剪切和阻力
能量厚度，δ₃	∫(u/U∞)[1 − (u/U∞)²]dy	1.0444√(νx/U∞)	动能亏损和耗散
常规厚度，δ₉₉	u = 0.99U∞ 所在的位置	5.0√(νx/U∞)	实际边界层厚度