阶跃扰动被建模为持续变化，而脉冲扰动被建模为集中且持续时间很短的输入。幅值为 (A) 的阶跃可写为 (u_d(t)=A,\mathcal{H}(t))，其中 (\mathcal{H}(t)) 是单位阶跃函数，其拉普拉斯变换为 (U_d(s)=A/s)。脉冲可写为 (u_d(t)=B,\delta(t))，其中 (B) 是脉冲的面积或注入总量，其拉普拉斯变换为 (U_d(s)=B)；单位脉冲的 (B=1)。

阶跃测试用于考察中试装置如何从一种操作条件转变到另一种操作条件，而脉冲测试则揭示装置响应随时间的动态分布。对于过程模型 (G(s))，相应的输出可由 (Y(s)=G(s)U_d(s)) 求得。

中试装置中的扰动建模

阶跃输入表示持续的操作变化

幅值为 (A) 的阶跃扰动可建模为

[ d(t)=A,\mathcal{H}(t) ]

其中

[ \mathcal{H}(t)= \begin{cases} 0, & t<0\ 1, & t\geq 0 \end{cases} ]

其拉普拉斯变换为

[ D(s)=\mathcal{L}{A,\mathcal{H}(t)}=\frac{A}{s}. ]

这表示一种突然而持续存在的变化，例如新的阀门开度、进料流量、加热负荷或控制器设定值。

脉冲输入表示集中发生的事件

脉冲扰动可建模为

[ d(t)=B,\delta(t), ]

其中 (\delta(t)) 是狄拉克 delta 函数，而 (B) 是脉冲面积：

[ \int_{-\infty}^{\infty} B,\delta(t),dt=B. ]

其拉普拉斯变换为

[ D(s)=\mathcal{L}{B,\delta(t)}=B. ]

对于单位脉冲，(B=1)，因此其变换简单地表示为

[ D(s)=1. ]

在中试装置中，理想脉冲可近似表示持续时间相对于过程响应时间可以忽略不计的极快速示踪剂、催化剂或反应物注入。

计算瞬态响应

过程模型将输入与输出联系起来

对于传递函数为

[ G(s)=\frac{Y(s)}{D(s)}, ]

的线性化过程模型，输出变换为

[ Y(s)=G(s)D(s). ]

通过对 (Y(s)) 进行拉普拉斯逆变换，可以得到时域瞬态响应。

该框架允许使用同一个装置模型测试不同类型的扰动，而无需改变底层过程动态特性。

阶跃扰动的响应

对于幅值为 (A) 的阶跃，

[ Y_{\text{step}}(s)=G(s)\frac{A}{s}. ]

因子 (1/s) 体现了扰动在发生变化后仍保持新值这一事实。

对于一阶过程，

[ G(s)=\frac{K}{\tau s+1}, ]

其中 (K) 是稳态增益，(\tau) 是时间常数。阶跃响应变为

[ Y_{\text{step}}(s)

\frac{KA}{s(\tau s+1)}. ]

其时域形式为

[ y_{\text{step}}(t)=KA\left(1-e^{-t/\tau}\right), \qquad t\geq 0. ]

输出的最终变化为 (KA)，而时间常数表示装置接近新稳态的速度。

脉冲扰动的响应

对于面积为 (B) 的脉冲，

[ Y_{\text{impulse}}(s)=G(s)B. ]

对于单位脉冲，该式简化为

[ Y_{\text{impulse}}(s)=G(s). ]

因此，脉冲响应就是过程传递函数本身的拉普拉斯逆变换。

对于同一个一阶过程，

[ Y_{\text{impulse}}(s)=\frac{KB}{\tau s+1}, ]

因此

[ y_{\text{impulse}}(t)=\frac{KB}{\tau}e^{-t/\tau}, \qquad t\geq 0. ]

与阶跃响应不同，脉冲响应通常会在扰动结束后逐渐返回到零附近。

每种测试所揭示的信息

阶跃测试可估计增益和时间常数

阶跃测试特别适合识别以下特性：

稳态增益：输出最终变化量与输入变化量之比。
时间常数：瞬态响应的特征速度。
过程阶次：响应表现为一阶、二阶还是更复杂的系统。
稳定性：输出是否趋于稳定、发生振荡或发散。

对于一阶响应，经过一个时间常数后，输出约达到其最终变化量的 (63.2%)。

脉冲测试可揭示停留时间特性

在流动系统中，脉冲示踪剂测试会在下游位置产生浓度响应。归一化后的响应通常被解释为停留时间分布，即 RTD。

如果 (C(t)) 是测得的示踪剂浓度，则归一化 RTD 通常写为

[ E(t)=\frac{C(t)}{\int_0^\infty C(t),dt}. ]

函数 (E(t)) 描述物料在每个停留时间离开系统的比例。其积分为一：

[ \int_0^\infty E(t),dt=1. ]

相应的累积 RTD 为

[ F(t)=\int_0^t E(\lambda),d\lambda. ]

因此，脉冲实验提供分布 (E(t))，而阶跃示踪剂实验提供其累积形式 (F(t))。

阶跃响应和脉冲响应在数学上相互关联

对于因果线性系统，单位阶跃响应是脉冲响应的积分：

[ g_{\text{step}}(t)=\int_0^t g_{\text{impulse}}(\lambda),d\lambda. ]

反过来，脉冲响应是阶跃响应对时间的导数：

[ g_{\text{impulse}}(t)=\frac{d}{dt}g_{\text{step}}(t). ]

这一关系解释了为什么阶跃测试能够识别过程如何逐渐累积并趋近于新状态，而脉冲测试则能够揭示过程内部动态响应的时序和形状。

表示滞后时间和延迟

传输滞后会使响应发生偏移

中试装置通常包含由管道、流体停留时间、传感器位置和分析仪响应引起的传输延迟。在拉普拉斯域中，(\theta) 个时间单位的纯延迟表示为

[ e^{-\theta s}. ]

因此，一阶加纯滞后模型可写为

[ G(s)=\frac{K e^{-\theta s}}{\tau s+1}. ]

延迟阶跃输入的变换为

[ D_{\text{step}}(s)=\frac{A e^{-\theta s}}{s}, ]

延迟脉冲响应的变换为

[ D_{\text{impulse}}(s)=B e^{-\theta s}. ]

在时域中，响应在 (t=\theta) 之前为零，之后过程瞬态才开始。

延迟会影响控制评估

滞后时间会降低控制器在过程输出反映变化之前作出响应的能力。忽略滞后时间可能导致 PID 参数设置过于激进，并使仿真控制回路看起来比实际中试装置更加稳定。

引入 (e^{-\theta s}) 可使数学模型更准确地表示实际的测量和传输行为。

理解其中的权衡

理想输入只是近似

实际阀门不可能无限快地改变位置，示踪剂注入也总是具有有限持续时间。因此，实际测试通常通过快速移动阀门或短时注入脉冲来近似理想阶跃和脉冲。

只有当输入持续时间相对于过程的主导时间尺度足够小时，这种近似才是有效的。

阶跃测试可能扰动操作点

较大的阶跃可能使温度、压力、组成或流量超出安全范围或线性操作范围。它还可能在实验过程中改变过程增益或时间常数。

测试幅值应足够大，以克服测量噪声的影响，但又要足够小，以保持近似线性行为。

脉冲测试对测量质量较为敏感

当注入量过小、传感器噪声较大或注入过程未得到良好表征时，脉冲响应可能难以解释。有限宽度的脉冲可能需要作为实际输入处理，而不是理想 delta 函数。

对于 RTD 研究，测得的浓度还必须进行一致的归一化，因为响应的积分代表检测到的示踪剂总量。

线性模型的适用范围有限

关系式

[ Y(s)=G(s)D(s) ]

假设模型是线性时不变模型，通常通过对选定操作点附近的装置进行线性化获得。强非线性、相变、饱和、结垢以及与组成相关的物性可能需要采用非线性动态仿真，或在多个操作条件下进行测试。

如何将其应用于您的项目

应根据所要解决的物理问题选择相匹配的扰动模型：

如果您主要关注稳态增益和过程速度：施加一个小阶跃扰动，拟合过渡曲线，并估计增益、时间常数、过程阶次以及可能存在的滞后时间。
如果您主要关注停留时间分布：施加一个短时示踪剂脉冲，测量下游浓度随时间的变化，并将其归一化以获得 (E(t))。
如果您主要关注控制器整定：在选择 PID 参数之前，使用包含过程增益、时间常数和传输延迟的阶跃响应模型。
如果您主要关注快速注入行为：将扰动建模为 (B\delta(t))，其中 (B) 是实测注入量或脉冲面积，而不是自动假设为单位脉冲。
如果您主要关注模型验证：比较预测瞬态曲线与实测瞬态曲线，同时检查输入持续时间、传感器延迟和操作范围是否足以支持线性近似。

阶跃输入刻画装置在不同操作状态之间的转变，而脉冲输入揭示装置如何在一段时间内分配并消散扰动。

汇总表：

扰动	数学模型	最适合评估的内容	关键结果
阶跃	`d(t) = A H(t)`; `D(s) = A/s`	增益、时间常数、过程阶次、稳定性和控制器整定	向新的操作条件转变
脉冲	`d(t) = B delta(t)`; `D(s) = B`	停留时间分布和动态响应形状	短时事件的时序和消散过程
一阶阶跃响应	`y(t) = KA(1 - e^(-t/tau))`	稳态变化和过程速度	最终变化为 `KA`；在 `t = tau` 时达到 63.2%
一阶脉冲响应	`y(t) = (KB/tau)e^(-t/tau)`	短时注入行为	响应衰减并趋近于零
滞后时间模型	`G(s) = K e^(-theta s)/(tau s + 1)`	传输延迟和更真实的控制评估	响应在延迟 `theta` 后开始
示踪剂脉冲测试	`E(t) = C(t)/integral C(t)dt`	流动系统中的停留时间分布	物料停留时间分布特征