终端沉降速度通过平衡颗粒的净重力与流体阻力来确定。对于低雷诺数范围内的球形颗粒，可得到斯托克斯定律结果：
[ U_t=\frac{gD_p^2(\rho_p-\rho_f)}{18\mu} ]
其中，(U_t) 为终端速度，(D_p) 为颗粒直径，(\rho_p) 和 (\rho_f) 分别为颗粒密度和流体密度，(\mu) 为流体黏度。在中试装置中，学生通常先计算该数值，验证适用的流动状态，然后将其与沉降柱或沉淀池中测得的速度进行比较。
核心方法是进行力平衡，但斯托克斯定律仅在黏性阻力占主导时有效。对于较大颗粒或黏度较低的流体，阻力系数取决于雷诺数，因此必须通过选择或迭代适当的阻力状态来求得速度。
力平衡如何确定终端速度
净重力或浮力
对于在流体中沉降的球形颗粒，向下的重力会受到浮力的抵消。产生的驱动力为
[ F_{\text{net}}=\frac{4}{3}\pi R^3g(\rho_p-\rho_f) ]
其中，(R) 为颗粒半径。
如果 (\rho_p>\rho_f)，颗粒会沉降。如果 (\rho_p<\rho_f)，颗粒会上浮，速度方向相反。
流体动力阻力
颗粒运动时，流体会产生阻碍其运动的阻力。在斯托克斯流动条件下，球体所受阻力为
[ F_D=6\pi\mu R U_t ]
在终端速度下，由于合力为零，颗粒不再加速：
[ F_{\text{net}}=F_D ]
将两个力的表达式代入可得
[ \frac{4}{3}\pi R^3g(\rho_p-\rho_f)
6\pi\mu R U_t ]
因此
[ U_t=\frac{2}{9}\frac{R^2g(\rho_p-\rho_f)}{\mu} ]
使用 (D_p=2R)，同一方程可写为
[ \boxed{ U_t=\frac{gD_p^2(\rho_p-\rho_f)}{18\mu} } ]
斯托克斯定律的适用条件
低颗粒雷诺数
颗粒雷诺数为
[ Re_p=\frac{\rho_f U_tD_p}{\mu} ]
对于非常低的雷诺数，在沉降实验室处理领域通常取 (Re_p<0.3)，黏性阻力与斯托克斯定律高度吻合。
在此状态下，惯性效应可以忽略，运动阻力主要由黏度控制。
方程的含义
斯托克斯结果表明，终端速度：
- 随颗粒直径的平方增加而增加。
- 随密度差线性增加。
- 随重力加速度增加。
- 随流体黏度增加而降低。
因此，只要颗粒仍处于斯托克斯状态，颗粒直径加倍就会使预测速度增加四倍。
中试装置实验如何确定速度
沉降柱测量
将已知悬浮液引入透明沉降柱或沉淀容器中。记录颗粒或界面位置随时间的变化。
颗粒经过初始加速阶段后，其位置随时间的变化近似呈线性。该区域的斜率即为测得的终端速度：
[ U_t \approx \frac{\Delta z}{\Delta t} ]
其中，(\Delta z) 为测得的沉降距离。
比较测量值与计算值
学生通常会在实验前根据颗粒尺寸、密度、黏度和重力计算 (U_t)。然后将测得的速度与理论值进行比较。
差异可能源于颗粒尺寸分布、颗粒形状不规则、壁面效应、悬浮液浓度、团聚、温度变化，或颗粒尚未达到终端运动状态。
估算分离性能
终端速度有助于确定颗粒是否能在可用停留时间内被去除：
[ t_s\approx\frac{H}{U_t} ]
其中，(H) 为相关理想化条件下的沉降距离。
该关系可用于对沉淀池、澄清池、浓缩池和细胞澄清设备进行初步分析。
如何选择正确的阻力状态
循环依赖关系
对于超出斯托克斯状态的条件，终端速度取决于阻力系数。阻力系数取决于雷诺数，而雷诺数本身又包含未知的终端速度：
[ Re_p=\frac{\rho_f U_tD_p}{\mu} ]
因此，速度并不总能通过单个显式方程直接计算得到。
摩擦群方法
一个便于筛选的参数为
[ K
D_p \left[ \frac{\rho_f(\rho_p-\rho_f)g}{\mu^2} \right]^{1/3} ]
(K) 的数值可指示可能的沉降状态：
- (K<3.3)：层流或斯托克斯状态
- (3.3<K<43.6)：过渡状态或艾伦状态
- (K>43.6)：湍流或牛顿状态
这些边界是有用的教学指导，但最终状态应使用计算得到的雷诺数以及所采用的阻力关联式进行确认。
试算与检查步骤
典型的中试装置计算遵循以下步骤：
- 确定 (D_p)、(\rho_p)、(\rho_f)、(\mu) 和 (g)。
- 使用 (K) 或初始雷诺数假设估计可能的状态。
- 使用相应的沉降方程计算 (U_t)。
- 使用该速度计算 (Re_p)。
- 检查雷诺数是否与假设的状态一致。
- 如果假设不一致，则使用另一种关联式重复计算。
对于处于过渡区域的颗粒，这一过程尤其重要。
中试装置除方程之外还能展示什么
流体性质的影响
黏度增加会减慢沉降，因为流体对颗粒运动提供了更大的阻力。颗粒与流体之间的密度差增大，会增加驱动力，从而提高沉降速度。
温度会显著影响黏度，因此实验过程中应记录流体温度。
颗粒尺寸和形状的影响
理想方程假设颗粒为球形，并且直径已知。实际固体可能形状不规则、多孔或发生团聚。
对于非球形颗粒，其测得的沉降速度通常低于等体积球体的沉降速度，因为其有效阻力更大。
稀悬浮液与浓悬浮液
单颗粒力平衡描述的是自由沉降，即颗粒之间有足够距离，不会强烈干扰彼此。
在较高浓度下，颗粒间相互作用以及流体置换会改变沉降行为。此时测得的界面速度可能代表受阻沉降或区域沉降，而不是孤立球体的终端速度。
理解其中的权衡
斯托克斯定律简单但存在局限
斯托克斯定律表达清晰，非常适合用于教学中的力平衡、尺度变化趋势和低雷诺数行为分析。当颗粒惯性显著或悬浮液浓度较高时，该定律的可靠性会降低。
对所有颗粒尺寸都不加判断地使用该定律，可能导致错误的沉降时间和分离预测。
理论速度与测量速度可能不同
中试装置很少会表现得像无限大且静止的流体。容器壁面、入口扰动、湍流、短路流、颗粒尺寸变化和取样不确定性都可能影响结果。
因此，实验值应被理解为特定设备和运行条件下的属性，而不是普适的颗粒常数。
加速度不总是由重力提供
在普通沉淀过程中，(g) 为重力加速度。在离心过程中，有效加速度由局部离心加速度取代。
力平衡原理仍然适用，但设备中的加速度可能随径向位置变化。
气液分离采用不同的实际处理方法
对于在气体中沉降的液滴，其密度比和阻力行为与液固沉降有很大不同。分离器设计通常使用与雷诺数相关的阻力因子或阻力系数，而不是不加区别地应用液固斯托克斯方程。
基本原理仍然相同：在终端运动状态下，经浮力修正的重量与阻力相平衡。
如何将其应用于中试装置实验
根据实验目的采用以下方法：
- 如果主要关注低雷诺数理论：应用力平衡并使用 (\displaystyle U_t=gD_p^2(\rho_p-\rho_f)/(18\mu))，然后验证所得 (Re_p) 是否处于斯托克斯范围内。
- 如果主要关注实验测量：确定终端沉降区域内颗粒或界面位置随时间变化曲线的斜率，并将其与计算速度进行比较。
- 如果主要关注设备设计：使用适当的阻力关联式、停留时间和沉降距离，而不是在未检查流动状态的情况下依赖斯托克斯定律。
- 如果主要关注放大：记录颗粒尺寸分布、浓度、温度、流体性质和容器几何形状，因为这些因素决定实验室行为是否能够代表中试或工业运行。
可靠的终端速度测定应结合力平衡、状态验证以及与中试装置测量结果的直接比较。
总结表：
| 关键方面 | 主要内容 |
|---|---|
| 基本原理 | 当浮力修正后的重量等于流体动力阻力时，颗粒达到终端速度。 |
| 斯托克斯定律 | 对于低颗粒雷诺数，Ut = gDp²(rhop - rhof) / 18mu。 |
| 关键变量 | 颗粒直径、密度差、流体黏度和重力。 |
| 状态检查 | 计算 Rep，确认适用的是斯托克斯阻力、过渡阻力还是湍流阻力。 |
| 实验方法 | 测量终端沉降区域内颗粒或界面位置随时间变化曲线的斜率。 |
| 分离应用 | 估算沉降时间，并评估沉淀池、澄清池和浓缩池的性能。 |
| 误差来源 | 颗粒形状、尺寸分布、壁面效应、浓度、温度以及未达到完全终端运动状态。 |
| 放大数据 | 记录颗粒性质、悬浮液浓度、流体条件和容器几何形状。 |
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