在平板边界层实验中，这三种厚度描述了同一种速度亏损所产生的不同效应。 99%边界层厚度（(\delta_{99})）是一个几何度量，基于局部速度达到主流速度99%的位置。位移厚度（(\delta_1)）衡量的是体积流量的损失，而动量厚度（(\delta_2)）衡量的是动量通量的损失。

这些厚度不可互换：(\delta_{99})描述了边界层的可见范围，(\delta_1)描述了其质量流量的位移效应，(\delta_2)描述了其动量损失效应。

这三种厚度衡量的内容

99%边界层厚度

99%边界层厚度（通常记为(\delta_{99})）是指从壁面开始，局部流向速度达到主流速度99%处的距离：

[ u(x,\delta_{99}) = 0.99U_\infty ]

其中，(u(x,y))是流向位置(x)和壁面法向位置(y)处的局部速度，而(U_\infty)是边界层外的主流速度。

对于平板上的层流布拉修斯流：

[ \delta_{99} \approx 5.0\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}} ]

其中(\nu)为运动粘度。

位移厚度

位移厚度(\delta_1)代表了由于壁面附近流体速度较慢而导致的体积流量减少。它相当于产生同样体积流量亏损的理想主流流体的厚度：

[ \delta_1

\int_0^\infty \left(1-\frac{u}{U_\infty}\right),dy ]

尽管实际边界层速度是逐渐趋近于(U_\infty)的，但积分上限习惯上写为无穷大，因为在边界层外速度亏损变得可以忽略不计。

对于层流布拉修斯流：

[ \delta_1

1.7208\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}} ]

该量在评估有效流道面积和外部流线的向外位移时特别有用。

动量厚度

动量厚度(\delta_2)衡量的是由边界层产生的动量通量亏损：

[ \delta_2

\int_0^\infty \frac{u}{U_\infty} \left(1-\frac{u}{U_\infty}\right),dy ]

因子(u/U_\infty)考虑了动量通量不仅取决于质量流量，还取决于速度这一事实。因此，动量厚度不仅仅是边界层的另一种几何测量。

对于层流布拉修斯流：

[ \delta_2

0.664\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}} ]

动量厚度常用于阻力计算、边界层积分法以及理论速度分布与实测速度分布的比较。

层流平板流的数学关系

共同的流向缩放比例

这三个量都随相同的特征长度尺度增长：

[ \sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}} ]

因此，对于固定的流体属性和主流速度，每种厚度在后缘下游都近似随(\sqrt{x})增加。

边界层在远离前缘处变厚，是因为粘性效应有更长的距离将动量从壁面扩散出去。

与99%厚度的比值

使用布拉修斯系数：

[ \frac{\delta_1}{\delta_{99}}

\frac{1.7208}{5.0} \approx 0.344 ]

因此：

[ \delta_1 \approx 0.34\delta_{99} ]

同样地：

[ \frac{\delta_2}{\delta_{99}}

\frac{0.664}{5.0} \approx 0.133 ]

因此：

[ \delta_2 \approx 0.13\delta_{99} ]

这些比值解释了为什么位移厚度和动量厚度在数值上比测量或计算出的99%厚度要小。

位移厚度与动量厚度的关系

对于层流布拉修斯流：

[ \frac{\delta_1}{\delta_2}

\frac{1.7208}{0.664} \approx 2.59 ]

该比值称为形状因子：

[ H

\frac{\delta_1}{\delta_2} ]

对于层流布拉修斯边界层：

[ H \approx 2.59 ]

形状因子概括了速度分布的形态。较大的值通常表示相对于位移效应而言，动量亏损更严重，这在评估边界层状态和分离风险时很有用。

为什么这些定义在实验室设备中很重要

解释速度分布测量

在流体力学实验室装置中，速度探头会在多个壁面法向位置测量(u(x,y))。测量得到的分布曲线可用于确定(u/U_\infty=0.99)的位置，从而提供(\delta_{99})的实验估算值。

同一分布曲线可以通过数值积分来计算(\delta_1)和(\delta_2)。这些积分量使用的是整个速度分布曲线，而不是单一的阈值位置。

评估有效流通面积

边界层减少了壁面附近区域的体积流量。位移厚度将这种减少表示为一种等效的阻塞或外部流线的向外位移。

在通道、管道或中试规模的流动装置中，有效流通面积因此小于纯几何面积。当边界层从相对的壁面生长时，这种影响变得更加重要。

将动量损失与阻力联系起来

动量厚度直接与壁面摩擦产生的流向动量亏损相关。在零压力梯度边界层中，其下游增长与从外部流场中移除的动量相关。

这使得在分析表面摩擦、阻力和积分动量平衡时，(\delta_2)比(\delta_{99})更具相关性。

理解权衡

(\delta_{99})取决于所选阈值

99%厚度很方便，但边界层并没有一个清晰定义的物理终点。选择95%、99%或99.9%会产生不同的数值厚度。

因此，(\delta_{99})对于报告边界层的可见范围很有用，但它不如积分厚度那样具有基础性。

积分厚度取决于分布曲线的质量

计算(\delta_1)和(\delta_2)需要对包含速度亏损的整个区域进行精确的速度测量。稀疏的测量、探头定位误差、壁面干扰以及(U_\infty)的不确定性都可能显著影响积分结果。

实验数据通常在数值积分前进行插值，但应记录所选的插值方法以及对外部测量极限的处理方式。

布拉修斯关系具有特定假设

公式

[ \delta_{99}=5.0\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}}, \qquad \delta_1=1.7208\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}}, \qquad \delta_2=0.664\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}} ]

适用于平板上稳态、不可压缩、二维、层流边界层，且压力梯度近似为零的情况。

在没有修正的情况下，它们不应应用于湍流、强压力梯度、曲面、三维横流、可压缩流或分离流。在这些情况下，定义仍然有效，但数值关系会发生变化。

如何将其应用于您的项目

根据您的实验室实验旨在回答的问题来使用这三种度量：

如果您的主要重点是边界层增长：使用(\delta_{99})来报告几何厚度，并将其测量的变化与(5.0\sqrt{\nu x/U_\infty})进行比较。
如果您的主要重点是流动阻塞或有效通道面积：使用(\delta_1)，因为它量化了体积流量亏损和流线位移。
如果您的主要重点是阻力或动量损失：使用(\delta_2)并评估形状因子(H=\delta_1/\delta_2)。
如果您的主要重点是验证层流平板实验：比较所有三个量，并检查(\delta_1/\delta_{99}\approx0.34)、(\delta_2/\delta_{99}\approx0.13)和(H\approx2.59)是否成立。

选择与感兴趣的物理量相匹配的厚度定义，可以将测得的速度分布转化为有意义的工程结果。

总结表：

厚度	衡量内容	关键公式	布拉修斯结果
99%边界层厚度，δ₉₉	速度达到主流速度99%处的距离	u(x, δ₉₉) = 0.99U∞	δ₉₉ ≈ 5.0√(νx/U∞)
位移厚度，δ₁	体积流量亏损和外部流线的向外位移	δ₁ = ∫₀∞(1 − u/U∞)dy	δ₁ = 1.7208√(νx/U∞)
动量厚度，δ₂	与阻力和动量损失相关的动量通量亏损	δ₂ = ∫₀∞(u/U∞)(1 − u/U∞)dy	δ₂ = 0.664√(νx/U∞)
形状因子，H	速度分布形态和分离趋势指标	H = δ₁/δ₂	H ≈ 2.59