独立的物料平衡方程是通过为每个不同的、独立追踪的物种或组分编写一个守恒方程来建立的。对于三组分的细胞分离或气体混合操作，这将产生三个独立的组分平衡，例如细胞、溶解培养基和其他溶质的平衡，或者三种气体组分的平衡。虽然也可以写出总质量或摩尔平衡，但它只是这些组分平衡之和，因此不会提供额外的独立方程。

独立物料平衡的数量由不同守恒组分的数量决定，而不是由物流数量或编写额外求和平衡的能力决定。这些平衡必须与工艺规范和物流约束相结合，直到独立方程的数量与未知数的数量相匹配。

从明确定义的系统边界开始

定义单元操作

在所分析的具体设备或工艺部分周围画一个边界。

对于细胞分离中试系统，边界可能包含离心机、膜分离器或过滤装置。对于气体混合系统，它可能包含混合歧管，并包括每个入口和合并后的出口。

只有穿过该边界的物流才会出现在平衡方程中。

区分总平衡与局部平衡

围绕整个中试工厂的总平衡包括外部进料和产品物流，但不包括连接各个单元的内部物流。

围绕分离器、混合器、连接点或分流点的局部平衡仅包括进入和离开该子系统的物流。局部平衡通常对于确定内部物流的流速和组成是必要的。

选择计算基准

基准可以是指定的时间间隔（例如连续操作一小时），也可以是固定的进料量。

对于稳态操作，累积量为零，因此每个组分平衡具有以下通用形式：

[ \text{组分输入}=\text{组分输出} ]

对于瞬态操作，必须包含累积量：

[ \text{输入}-\text{输出}=\text{累积量} ]

为每个独立组分编写一个平衡方程

识别守恒组分

列出其数量必须独立追踪的物种或材料类别。

例如：

细胞分离过程中的细胞、培养基和溶解溶质
气体混合过程中的氧气、氮气和二氧化碳
稀释或浓缩操作中的溶剂和溶质

这些类别必须足够独特，以至于不能仅从其他类别的数量计算出其中一个类别的数量。

使用组分流速作为变量

对于物流 (s) 和组分 (i)，定义组分流速，例如：

[ F_{i,s} ]

稳态单元中组分 (i) 的平衡为：

[ \sum_{\text{入口}} F_{i,s}

\sum_{\text{出口}} F_{i,s} ]

当工艺关系是线性时，以组分流速编写平衡方程可以保持方程的线性。

示例：三组分分离器

假设分离器接收进料物流 (F) 并产生含有组分 (A)、(B) 和 (C) 的物流 (P) 和 (W)。

独立的平衡方程为：

[ F_A=P_A+W_A ]

[ F_B=P_B+W_B ]

[ F_C=P_C+W_C ]

这些方程独立地强制执行所有三个组分的守恒。

也可以写出一个总平衡：

[ F_A+F_B+F_C

P_A+P_B+P_C+W_A+W_B+W_C ]

然而，这个总方程是通过将三个组分方程相加得到的。它在数学上是相关的，不能算作第四个独立平衡。

增加规范和物流约束

使用已知的分离或混合关系

仅靠组分平衡可能无法确定每一个未知的物流变量。

其他独立关系可以包括：

产品物流中指定的细胞回收率
已知的气体组分分流比
目标出口浓度
两个入口流速之间的预设比例
已知的纯度或去除效率
测得的总流速

例如，具有回收率 (R) 的细胞分离器可以使用：

[ P_{\text{细胞}}=R F_{\text{细胞}} ]

具有指定出口摩尔分数的混合器可以使用：

[ y_{\mathrm{CO_2},出口}=y_{\mathrm{CO_2},目标} ]

这些是工艺规范，而不是额外的守恒定律。

强制执行分数之和约束

如果使用质量分数或摩尔分数来描述物流，则分数之和必须为 1：

[ \sum_i w_{i,s}=1 ]

或

[ \sum_i y_{i,s}=1 ]

对于三组分物流：

[ w_A+w_B+w_C=1 ]

当组成变量未知时，需要此约束。这是一个物理归一化条件，而不是第四个组分平衡。

区分独立关系与冗余关系

只有当一个关系不能从已经包含的方程中推导出来时，它才增加有用的信息。

例如，当所有组分平衡都存在时，总平衡是冗余的。同样，指定三个摩尔分数中的两个可能已经通过分数之和约束确定了第三个。

目标不是最大化所写方程的数量，而是获得正确数量的独立方程。

检查独立性和自由度

形成系数矩阵

当方程是线性时，以矩阵形式编写它们：

[ A\mathbf{x}=\mathbf{b} ]

这里，(\mathbf{x}) 包含未知的组分流速、总流速或组成变量。

(A) 的秩给出了系统所代表的独立方程的数量。如果一行是其他行的线性组合，则它不会增加秩。

执行自由度分析

计算：

[ \text{自由度}

\text{未知数数量}

\text{独立方程数量} ]

完全指定的模型通常具有零自由度。

正自由度意味着需要额外的测量或规范。
零自由度表示模型已精确指定。
负自由度表示可能存在冗余或冲突的信息。

在求解前验证模型

即使模型表述不当，求解器也可能返回数值结果，特别是当数据四舍五入或方程几乎相关时。

检查矩阵秩、残差以及解的物理可行性。流速和浓度不应为负，除非变量定义明确允许带符号的量。

将该方法应用于典型中试系统

细胞分离系统

当细胞在分离器内既不产生也不销毁时，将细胞群体视为一个单独的守恒组分。

对于具有进料、浓缩细胞和澄清液体物流的分离器，细胞平衡可以写为：

[ F_{\text{细胞}}

P_{\text{细胞}}+W_{\text{细胞}} ]

根据预期的模型，额外的平衡可以追踪溶解溶质、悬浮固体或溶剂。

如果操作导致细胞生长、死亡、裂解或化学反应，则必须包含相应的源项或汇项。简单的分离器平衡仅在这些影响可忽略或被故意排除时才有效。

气体混合系统

对于非反应性气体混合，为每种气体物种编写一个摩尔平衡。

对于物种 (i)：

[ \sum_k F_{i,k}=F_{i,出口} ]

如果入口 (k) 具有总摩尔流速 (F_k) 和摩尔分数 (y_{i,k})，则：

[ F_{i,k}=F_k y_{i,k} ]

出口组成由以下公式得出：

[ y_{i,出口}

\frac{\sum_k F_k y_{i,k}}{\sum_k F_k} ]

出口摩尔分数还必须满足：

[ \sum_i y_{i,出口}=1 ]

该最终关系是一个一致性约束，并且依赖于完整的组分平衡集加上总出口流速的定义。

多个连接单元

对于包含混合器、分离器、反应器和分流器的系统，在回答问题所需的层面上建立平衡。

使用总边界来检查全局守恒，并使用单个单元边界来确定内部物流变量。内部物流在总平衡中抵消，但在局部平衡中仍然至关重要。

理解权衡

总平衡有用但不独立

总平衡对于检查计算和检测测量不一致性仍然很有价值。

它只是不能在所有相应的组分平衡之外额外计算。如果仅使用部分组分平衡，则总平衡可能提供独立信息，但必须根据已存在的方程检查其独立性。

组成变量可能产生非线性方程

同时使用总流速和组成可能会产生未知数的乘积：

[ F_s y_{i,s} ]

如果 (F_s) 和 (y_{i,s}) 都是未知的，则方程是非线性的。

使用组分流速 (F_{i,s}) 作为主要未知数通常会产生更简单的线性模型。总流速和组成可以在之后适当时进行计算。

测量可能不一致

由于校准误差、噪声、采样差异或未测量的损失，中试工厂传感器很少能完全精确地满足每一个守恒方程。

当测量数据使模型过度确定时，工程师可以使用数据协调或最小二乘法。守恒方程仍然是物理基础，而测量不确定性决定了如何处理偏差。

反应系统需要额外项

对于反应单元，物种平衡不仅仅是输入等于输出。

通用的稳态平衡是：

[ \text{输入}-\text{输出} + \text{反应生成}

\text{反应消耗} =0 ]

可以引入独立的反应进度或反应速率来表示这些源项和汇项。这与非反应性分离器或混合器不同，在后者中，物种只是被重新分配。

如何将此应用于您的项目

正确的方程组取决于所选的变量和可用的规范。

如果您的主要重点是细胞分离：为细胞和必须追踪的每一个其他材料类别编写独立平衡，然后添加回收率、纯度、分流比或浓度规范。
如果您的主要重点是气体混合：为每种气体物种编写一个摩尔平衡，使用已知的入口流速和组成，并强制执行出口摩尔分数之和。
如果您的主要重点是多单元中试工厂：定义总边界和局部边界，平衡每个所需的子系统，仅在总平衡中排除内部物流。
如果您的主要重点是数值求解：尽可能使用组分流速，评估矩阵秩，并确认自由度为零。
如果您的主要重点是测得的中试工厂数据：将独立平衡用作守恒约束，并协调不一致的测量，而不是添加冗余方程。

独立的物料平衡是通过将每个独立守恒的组分与一套完整的非冗余物理和工艺约束相匹配来建立的。

总结表：

关键方面	实用指导
独立平衡	为每个独立追踪的组分或物种编写一个守恒方程。
细胞分离系统	追踪细胞、溶解培养基、溶质或其他相关材料类别。
气体混合系统	使用入口流速和摩尔分数，为每种气体物种编写一个摩尔平衡。
总平衡	作为有用的检查手段，但在包含所有组分平衡时不要将其计为独立方程。
额外方程	根据需要添加回收率、纯度、分流比、浓度、流速和分数之和约束。
模型验证	检查矩阵秩、自由度、残差和物理可行性。
反应系统	包含反应、生长、死亡或裂解的生成和消耗项。

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