对于欠阻尼单元操作响应，应根据第一个峰值评估超调量，根据连续峰值幅度评估衰减比，并根据周期之间的时间间隔评估振荡频率。对于阻尼系数 (0<\zeta<1)，归一化超调量为 (\exp[-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}])，而衰减比为其平方。阻尼角频率为 (\omega_d=\sqrt{1-\zeta^2}/\tau)，其中 (\tau) 是系统的固有时间常数或周期参数。
实用方法是读取相对于最终稳态值的瞬态响应，测量峰值高度和峰值间距，然后将结果与二阶欠阻尼方程进行比较。
建立参考响应
确定最终值
首先从中试装置响应曲线确定初始值 (y_0) 和最终稳态值 (y_\infty)。总稳态变化为
[ B = y_\infty-y_0 ]
对于阶跃测试，应允许响应持续足够长的时间，以便最终值可靠，而不是根据曲线的早期部分进行估算。
测量相对于稳态的偏差
峰值高度必须相对于 (y_\infty) 测量，而不是相对于初始值。这种区别很重要，因为振荡幅度是围绕最终值衰减的。
对于超过最终值的响应，令 (A) 为第一个峰值高于 (y_\infty) 的高度。令 (C) 为下一个对应峰值高于 (y_\infty) 的高度。
评估超调量
计算实验超调量
分数超调量为
[ M_p=\frac{A}{B} ]
其中：
- (A) 是第一个峰值高于最终值的偏移量。
- (B) 是由输入阶跃引起的总稳态变化。
以百分比表示，
[ %OS=100\frac{A}{B} ]
例如，如果第一个峰值相对于总阶跃变化高出最终值 20%，则 (M_p=0.20)，超调量为 (20%)。
将超调量与阻尼联系起来
对于欠阻尼二阶响应，
[ M_p=\exp\left(\frac{-\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right) ]
较小的 (\zeta) 会产生较大的超调量，因为系统在每个周期内耗散的能量较少。
如果使用测得的超调量来估算阻尼系数，则该关系可重写为
[ \zeta= \frac{-\ln(M_p)} {\sqrt{\pi^2+\left[\ln(M_p)\right]^2}} ]
此估算仅在 (0<M_p<1) 时才有意义，对应于明显的欠阻尼响应。
评估衰减比
比较连续峰值幅度
衰减比是通过将一个振荡峰值的幅度除以下一个对应峰值的幅度获得的：
[ DR=\frac{C}{A} ]
(C) 和 (A) 均从最终值开始测量。因此，对于稳定的衰减振荡，初始峰值与下一个峰值的比率小于 1。
使用超调量关系
对于标准欠阻尼二阶系统，
[ DR= \exp\left(\frac{-2\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right) ]
因此，
[ DR=M_p^2 ]
这提供了一个有用的一致性检查：根据测得的连续峰值计算出的衰减比应大致等于测得的分数超调量的平方。
阐明比率约定
过程控制文本有时将衰减报告为第一峰值与第二峰值的幅度比，例如 4:1 或 10:1。该约定是 (C/A) 的倒数。
因此：
- (C/A=0.25) 对应于 4:1 的第一与第二峰值比。
- (C/A=0.10) 对应于 10:1 的第一与第二峰值比。
在报告中试装置结果时，必须明确说明数值约定。
评估振荡频率
从响应中测量周期
测量两个相同类型的连续峰值之间的时间。如果峰值时间为 (t_1) 和 (t_2)，则阻尼振荡周期为
[ T_d=t_2-t_1 ]
相应的阻尼角频率为
[ \omega_d=\frac{2\pi}{T_d} ]
这通常是最直接的实验评估方法，因为它使用了过程响应的可观察特征。
使用二阶模型
对于用阻尼系数 (\zeta) 和时间参数 (\tau) 表示的二阶系统，阻尼角频率为
[ \omega_d=\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\tau} ]
相关的周期为
[ T_d=\frac{2\pi\tau}{\sqrt{1-\zeta^2}} ]
在此，(\omega_d) 描述了衰减振荡的实际频率。它不应与无阻尼自然频率混淆，后者在此参数化下通常写为 (\omega_n=1/\tau)。
比较测量值和预测值
学生可以根据超调量或衰减比计算 (\zeta)，根据过程模型估算 (\tau)，然后计算预测的 (\omega_d)。将其与 (2\pi/T_d) 进行比较有助于识别测量误差、模型不匹配、传感器延迟或非线性中试装置行为。
理解权衡
更快的响应可能会增加振荡
轻微阻尼的回路可能很快达到预期区域，但会产生明显的超调和反复振荡。增加阻尼通常会减少超调和衰减持续性，尽管响应可能会变慢。
这是控制器调整的核心权衡：必须在速度与稳定性、执行器运动以及被控变量与目标的偏差之间取得平衡。
衰减比是稳定性指标
接近 1 的衰减比表示连续振荡缓慢减小。小得多的比率表示瞬态消失得更快。
教学实验可能将大约 4:1 到 10:1 的第一与第二峰值幅度比描述为实用的平衡范围。在 (C/A) 约定中，这大约对应于 0.25 到 0.10。
避免将噪声误认为振荡
噪声、执行器分辨率、过程干扰和传感器滤波可能会扭曲峰值幅度。峰值测量应取自清晰可辨的周期，并且在信号质量允许的情况下，应比较几个连续的峰值对。
考虑数字采样
数字控制系统必须以大于其振荡频率两倍的速率对振荡过程变量进行采样，以避免混叠。在实践中，每个振荡周期四个或更多样本可为监控和调整提供更可靠的表示。
如果采样率太低，接口可能会显示错误的低频振荡或看似恒定的信号。
如何将其应用于您的实验
结合使用响应图和模型方程，而不是依赖单一测量。
- 如果您的主要关注点是超调量：测量高于最终值的第一个峰值，除以总稳态变化，并报告 (M_p) 和 (100M_p%)。
- 如果您的主要关注点是阻尼或稳定性：测量相对于稳态的两个连续峰值幅度，报告 (C/A)，并明确说明是否使用了第一与第二峰值比的倒数约定。
- 如果您的主要关注点是振荡速度：测量连续对应峰值之间的时间并计算 (\omega_d=2\pi/T_d)；将其与 (\sqrt{1-\zeta^2}/\tau) 进行比较。
- 如果您的主要关注点是数字控制质量：验证采样率是否远高于每个振荡周期两个样本，建议每个周期大约四个或更多样本。
这些测量将中试装置波形转化为对阻尼、瞬态持续性和振荡速度的定量描述。
汇总表：
| 参数 | 测量方法 | 关键方程 | 指示意义 |
|---|---|---|---|
| 超调量 | 高于最终稳态值的第一个峰值偏移量除以总阶跃变化 | M_p = A/B; %OS = 100M_p |
峰值偏差和阻尼水平 |
| 阻尼系数 | 根据测得的分数超调量计算 | zeta = -ln(M_p) / sqrt(pi^2 + [ln(M_p)]^2) |
振荡消失的速度 |
| 衰减比 | 下一个对应峰值幅度除以第一个峰值幅度（均从稳态测量） | DR = C/A = M_p^2 |
瞬态响应的持续性 |
| 振荡周期 | 两个连续对应峰值之间的时间 | T_d = t_2 - t_1 |
一个阻尼周期的持续时间 |
| 阻尼频率 | 将测得的周期转换为角频率 | omega_d = 2pi/T_d |
衰减振荡的速度 |
| 采样质量 | 比较采样率与振荡频率 | 每个周期至少 2 个样本；建议 4 个或更多 | 数字响应数据的可靠性 |
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