假设粘性应力张量对称，是因为普通流体不会产生独立的微观力矩。 因此，无穷小流体单元上的角动量守恒要求相互垂直面上的剪应力必须相等，例如 (\tau_{xy}=\tau_{yx})。这使得二阶应力张量的九个分量减少为六个独立量，这对于大多数单元操作中试工厂所使用的常规流体是成立的。
对于标准的连续介质流体，应力对称性是角动量守恒的结果，而不仅仅是数学上的方便。 当流体包含内部结构或受到分布体力偶（这些力偶产生的力矩独立于普通表面应力）的作用时，该假设可能会失效。
为什么使用应力对称性
应力张量代表表面力
柯西应力张量描述了作用在流体内部假想表面上的力。其对角线项是正应力，而非对角线项是剪应力。
在三维空间中，该张量最初包含九个分量：
[ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}. ]
例如，分量 (\sigma_{xy}) 和 (\sigma_{yx}) 描述了与两个垂直表面取向相关的应力。它们仅仅因为使用了相同的两个坐标方向，并不自动相等。
角动量施加的约束
考虑一个无穷小的矩形流体单元。如果 (\tau_{xy}) 和 (\tau_{yx}) 不相等，它们产生的力会在第三个坐标轴周围产生净力矩。
对于没有独立体力矩的常规流体单元，必须守恒角动量。旋转平衡要求：
[ \tau_{xy}=\tau_{yx}, \qquad \tau_{xz}=\tau_{zx}, \qquad \tau_{yz}=\tau_{zy}. ]
同样的结论适用于总应力张量。由于压力贡献是各向同性的，
[ \boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau}, ]
且 (-p\mathbf{I}) 本身就是对称的，因此只要总应力是对称的，粘性应力张量 (\boldsymbol{\tau}) 就是对称的。
无穷小单元论证
导致可能产生力矩的表面力随单元尺寸的变化而变化，这种变化在单元缩小过程中依然显著。相比之下，单元的转动惯量随其特征长度的五次方变化，而其体积随三次方变化。
当单元尺寸趋近于零时，转动惯量的贡献相对于剪应力不平衡产生的力矩变得微不足道。因此，有限的应力不平衡意味着在极限流体单元中存在不平衡的力矩，所以非对角线分量必须平衡。
该论证假设应力和加速度保持有限，且材料内部没有独立的微观力矩作用。
为什么这在中试工厂分析中很重要
本构方程变得更简单
对于各向同性牛顿流体，粘性应力与变形速率的关系为
[ \boldsymbol{\tau}
2\mu\mathbf{D} + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I}, ]
其中
[ \mathbf{D}
\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^{T} \right] ]
是各向同性的变形速率张量。
由于 (\mathbf{D}) 是对称的，牛顿粘性应力也是对称的。对于不可压缩流体，(\nabla\cdot\mathbf{v}=0)，剪应力和正应力主要由动力粘度 (\mu) 控制。
标准单元操作满足该假设
该假设适用于常见的中试工厂工作流体，包括：
- 空气和其他普通气体
- 水和常规牛顿液体
- 许多聚合物溶液
- 典型的悬浮液和浆料（当视为连续介质流体时）
- 管道流动、热交换器、混合和塔器流动实验中的流体
在这些条件下，常规动量方程正确描述了压降、壁面剪切、速度分布、混合应力和流经工艺设备的流动。
对称应力不同于零旋转
对称粘性应力张量并不意味着流体单元不能旋转。速度梯度可以分解为对称的变形速率部分和反对称的刚体旋转部分：
[ \nabla\mathbf{v}
\mathbf{D} + \mathbf{W}, ]
其中 (\mathbf{D}) 描述变形，(\mathbf{W}) 描述局部旋转。
速度梯度的反对称部分代表涡度或刚体旋转。它本身并不是反对称的粘性应力。
假设何时失效
具有体力偶的流体
当流体受到分布体力矩（有时称为体力偶）作用时，应力对称性可能会失效。在这种情况下，角动量可以通过普通表面应力和作用于整个流体体积的独立力矩来平衡。
此时角动量平衡允许：
[ \sigma_{ij}\ne\sigma_{ji}. ]
完整的模型可能需要额外的偶应力项，在某些理论中，还需要为流体微观结构的旋转建立独立的平衡方程。
极性流体和微极性流体
极性或微极性流体包含能够独立于整体速度场旋转的内部成分。例如含有悬浮不对称颗粒的流体、结构化微流体或使用 Cosserat 型连续介质理论建模的材料。
对于这些流体，局部单元可以拥有内在的旋转自由度。经典的牛顿本构关系此时不再适用，应力的反对称部分可能携带物理信息，而不是被迫为零。
铁磁流体和外部施加的场
铁磁流体含有能与外加磁场相互作用的磁性颗粒。磁力矩可以旋转颗粒并将角动量传递给流体。
在将磁效应视为体力偶的模型中，机械应力张量不一定对称。确切的表述取决于磁贡献是包含在流体应力中、通过体力或体力偶项表示，还是纳入更广泛的电磁应力平衡中。
电磁和其他连续介质效应
外部场可以在连续介质尺度上产生力和力矩。在某些导电流体、液晶、具有活性颗粒旋转的悬浮液以及其他结构化材料中，也会出现类似的考虑。
关键问题不仅仅在于流体是否为非牛顿流体。许多非牛顿流体仍然具有对称的柯西应力张量。当材料模型包含独立的角动量、偶应力或体力矩时，对称性才会失效。
理解权衡
假设是高效但有条件的
使用对称应力张量将独立应力分量的数量从九个减少到六个。这极大地简化了本构方程、边界条件、数值实现以及对中试规模测量的解释。
对于普通流体，这种简化是合理的，因为它们的内部分子旋转不会在设备尺度上产生可分辨的独立力矩。
非牛顿行为不会自动导致对称性失效
粘弹性、剪切变稀、剪切增稠和屈服应力行为改变了应力与变形之间的关系。它们并不一定使应力张量变得不对称。
不对称应力需要更具体的物理机制，例如内部颗粒旋转或外加体力偶。
连续介质有效性是一个独立的要求
应力对称性假设了一种连续介质描述，其中局部应力和速度场是有意义的。当克努森数 (Knudsen number) 满足以下条件时，该描述是可靠的：
[ \mathrm{Kn}=\frac{\ell_0}{\ell}, ]
其中 (\ell_0) 为分子平均自由程，(\ell) 为特征设备长度。
在极小尺度或稀薄气体中，连续介质方程本身可能变得不适用。这是连续介质模型的失效，与连续介质力学中角动量对称性的失效不同。
电磁核算可能导致混淆
如果电磁力和力矩被单独表示，机械应力张量可能看起来是不对称的。一旦包含了所有场、体力、体力偶和表面应力的贡献，物理上相关的总角动量平衡仍然可以保持一致。
因此，表观的不对称性必须在所选的应力定义和平衡定律表述范围内进行解释。
如何将其应用于中试工厂分析
对于大多数单元操作计算，对称粘性应力假设是正确的起点：
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如果您的主要关注点是常规管道流动或压降： 使用对称的牛顿模型或适当的广义牛顿应力模型，并根据流体和操作条件选择粘度。
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如果您的主要关注点是普通液体的热交换或混合： 将粘性应力视为对称的，并单独评估粘性耗散是否大到足以影响能量平衡。
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如果您的主要关注点是聚合物溶液、浆料或其他非牛顿流体： 修改材料流变学的本构关系，但除非流体具有独立的旋转结构或外加体力矩，否则不要假设不对称性。
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如果您的主要关注点是铁磁流体、液晶、含颗粒微流体或场响应材料： 在强加应力对称性之前，检查控制模型是否包含体力偶、偶应力或微观结构角动量。
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如果您的主要关注点是微尺度或稀薄气体流动： 在依赖常规应力张量方程之前，使用克努森数验证连续介质假设。
对于标准中试工厂流体，应力对称性是角动量守恒的物理合理结果；特殊流体需要平衡定律和本构模型来明确解释其额外的力矩。
总结表：
| 主题 | 关键要点 |
|---|---|
| 为什么适用对称性 | 当不存在独立体力矩时，角动量守恒要求互补剪应力相等。 |
| 标准模型 | 牛顿流体和许多非牛顿流体使用对称粘性应力张量。 |
| 中试工厂相关性 | 该假设支持管道流动、压降、混合、热交换和塔器操作的分析。 |
| 何时可能失效 | 体力偶、偶应力、微极性流体、铁磁流体、液晶和旋转微观结构可能产生不对称应力。 |
| 单独考虑 | 稀薄或微尺度流动可能需要使用克努森数检查连续介质有效性。 |
| 实践指导 | 仅在物理上存在独立角动量或分布力矩时，才更改本构模型。 |
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